3.1 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Come visto per le equazioni di primo grado, applicando la legge di cancellazione (oppure il principio di equivalenza) è possibile ridurre ogni equazione nell'incognita x a forma normale (senza monomi simili).
Se l'equazione è di secondo grado nella variabile x, l'esponente maggiore con cui compare la x nella forma normale è 2, ossia si ha
con
le lettere a, b e c raprresentano numeri (reali) o espresisoni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell'equazione; c è anche detto termine noto.
Un'equazione di secondo grado nell'incognita x, ridotta a forma normale, si dice completa quando tutti e tre i coefficienti sono diversi da zero (a≠0 ET b≠0 ET c≠0). Si dice incompleta quando il secondo coefficiente o il terzo, o entrambi sono nulli (b=0 VEL c=0).

Per la ricerca delle soluzioni dell'equazione, ossia i valori che, sostituiti all'incognita, rendono vera l'uguaglianza fra i due membri si è scelto di mostrare alcuni esempi anziché fornire una schematizzazione.

  • Risolvere la seguente equazione di secondo grado incompleta:
    (detta equazione pura)
    una possibile strada è quella di fattorizzare il polinomio al primo membro e applicare la legge di annullamento del prodotto (una seconda strada è quella di isolare il termine con l'incognita):

    quindi l'equazione diventa

    e per la legge di annullamento del prodotto il primo membro è nullo per x=-2 VEL x=2 che sono le soluzioni dell'equazione.
     
  • Risolvere la seguente equazione di secondo grado incompleta:
    (equazione pura)
    non è possibile fattorizzare il polinomio a primo membro (è irriducibile) e provando ad isolare il termine con l'incognita si ottiene:

    che non ammette soluzioni perchè il primo membro è sempre positivo o nullo, mentre il secondo membro è negativo.
     
  • Risolvere la seguente equazione di secondo grado incompleta:
    (detta equazione spuria)
    una possibile strada è quella detta del completamento del quadrato (è già presente il quadrato di un termine e il doppio prodotto)

    Si riconosce la differenza di due quadrati e si fattorizza:

    Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono x=0 VEL x=-2.

    Una seconda strada è quella di effettuare un raccoglimento totale sul primo membro dell'equazione e ritrovare:

  • Risolvere la seguente equazione di secondo grado incompleta:
    (detta equazione monomia)
    Riscrivendo l'equazione in questo

    ed applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene x=0 VEL 2x=0, pertanto l'equazione ha due soluzioni coincidenti. In tal caso si può anche dire che la soluzione x=0 è doppia o ha molteplicità 2.
  • Risolvere la seguente equazione di secondo grado completa:

    Si può tentare una fattorizzazione del polinomio, ma non riesce.
    Si procede quindi con il completamento del quadrato.




    Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono pertanto

3.2 LA FORMULA RISOLUTIVA

È possibile applicare il completamento del quadrato all'equazione generica di secondo grado (in forma normale)
con
ed ottenere una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

Si dividono entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente a, supposto non nullo:

Si scrive come doppio prodotto:
Quindi l'equazione diventa:

Si aggiunge e si sottrae al primo membro il termine , completando così il quadrato:

Se il numeratore è positivo o nullo è possibile estrarne la radice e riscrivere l'equazione così:

In questo modo si è evidenziata la differenza di due quadrati, quindi l'equazione diventa:

Pertanto per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono
(*)
Dette x1 e x2 le soluzioni dell'equazione, è possibile riscrivere la (*) in una forma più compatta:

  detta formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

Si vuole inisistere sulla condizione che ha permesso l'estrazione di radice, ossia .
Ponendo possono verificarsi tre casi

  • Δ>0, la formula risolutiva fornisce due soluzioni reali distinte
  • Δ=0, la formula risolutiva fornisce due soluzioni reali coincidenti (o una soluzione di molteplicità 2)
  • Δ<0, l'equazione non ha soluzioni reali

Δ è detto discriminante (dal latino discrimen che significa «ciò che serve a distinguere»).
Grazie al discriminante è possibile conoscere la risolubilità di un'equazione di secondo grado prima della risoluzione.


3.3 L'AREA DEI RETTANGOLI ISOPERIMETRICI (da "Matematica 2003")

Due rettangoli di dicono isoperimetrici quando hanno lo stesso perimetro.
Il termine deriva dal greco ίσος "uguale", περί "intorno" e μέτρον "misura".
Fissato un valore del perimetro (ad esempio 2p=12), si consideri l'insieme dei rettangoli isoperimetrici che abbiano tale perimetro.
Si scelga una variabile x, per esempio il lato "orizzontale" del rettangolo. L'altro lato si trova come differenza tra il semiperimetro ed x.

Considerare alcuni rettangoli isoperimetrici e inserire in una tabella le misure dei due lati e dell'area.
Osservare che l'area varia al variare di x.

Rappresentare in un grafico i punti che hanno come ascissa x (la misura del lato orizzontale) e come ordinata l'area.
Determinare qual è il rettangolo con area massima.

Al variare di x l'area di questi rettangoli è x(p-x), dove p è il semiperimetro (p=6). Quindi i punti rappresentati nel riferimento cartesiano soddisfano l'equazione y=-x2+px che è l'equazione di una parabola rivolta verso il basso e con l'asse parallelo all'asse delle ordinate.
(Il vincolo 0<x<6 permette di tracciare solo un arco delle parabola)
Il valore massimo per l'ordinata (ossia per l'area) si ottiene nel vertice della parabola:

   dove

Quindi il lato che massimizza l'area (ossia quello per cui si ottiene area massima) è dato dall'ascissa del vertice:
(se 2p=12, tale lato misura 3)
e a tale lato corrisponde un'area pari a (se 2p=12, tale area vale 9).

Si osserva che se un lato misura anche l'altro lato misura , quindi il rettangolo è un quadrato.
Pertanto il rettangolo isoperimetrico con perimetro fissato che ha area massima è il quadrato con tale perimetro.

Un'altra soluzione può essere la seguente:
Sia p il semiperimetro, si indicano con e i due lati del rettangolo, con . L'area risulta ed il valore di k per cui si ottiene l'area massima è k=0. Pertanto entrambi i lati misurano ed il rettangolo è un quadrato.

NOTA DIDATTICA: L'uso di un ambiente di geometria dinamica può essere opportuno per affiancare ai registri numerico (tabelle), grafico (grafico per punti) e formale (la formula che rappresenta la variazione dell'area in funzione del lato) anche un registro geometrico visivo (la variazione dei rettangoli in un ambiente di geometria dinamica).


4 ESERCIZI

Fattorizzare polinomi di secondo grado (trovando le radici del polinomio)
Risolvere equazioni di secondo grado
Trovare le intersezioni di retta e parabola


BIBLIOGRAFIA e SITOGRAFIA

Massimo Bergamini - Anna Trifone, "Lineamenti di algebra e geometria analitica"
UMI, "Matematica 2003 Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica"